難點(diǎn)10 函數(shù)圖象與圖象變換

函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，它是研究和記憶函數(shù)性質(zhì)的直觀工具，利用它的直觀性解題，可以起到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的作用.因此，考生要掌握繪制函數(shù)圖象的一般方法，掌握函數(shù)圖象變化的一般規(guī)律，能利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì).

●難點(diǎn)磁場(chǎng)

(★★★★★)已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖象如圖，求b的范圍.

●案例探究

[例1]對(duì)函數(shù)y=f(x)定義域中任一個(gè)x的值均有f(x+a)=f(a-x),(1)求證y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱;(2)若函數(shù)f(x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x都有f(x+2)=f(2-x),且方程f(x)=0恰好有四個(gè)不同實(shí)根，求這些實(shí)根之和.

命題意圖：本題考查函數(shù)概念、圖象對(duì)稱問(wèn)題以及求根問(wèn)題.屬★★★★★級(jí)題目.

知識(shí)依托：把證明圖象對(duì)稱問(wèn)題轉(zhuǎn)化到點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題.

錯(cuò)解分析：找不到問(wèn)題的突破口，對(duì)條件不能進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.

技巧與方法：數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化.

(1)證明：設(shè)(x0,y0)是函數(shù)y=f(x)圖象上任一點(diǎn)，則y0=f(x0),又f(a+x)=f(a-x),∴f(2a-x0)=

f[a+(a-x0)]=f[a-(a-x0)]=f(x0)=y0,∴(2a-x0,y0)也在函數(shù)的圖象上，而 =a,∴點(diǎn)(x0,y0)與(2a-x0,y0)關(guān)于直線x=a對(duì)稱，故y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱.

(2)解：由f(2+x)=f(2-x)得y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，若x0是f(x)=0的根，則4-x0也是f(x)=0的根，由對(duì)稱性，f(x)=0的四根之和為8.

[例2]如圖，點(diǎn)A、B、C都在函數(shù)y= 的圖象上，它們的橫坐標(biāo)分別是a、a+1、a+2.又A、B、C在x軸上的射影分別是A′、B′、C′,記△AB′C的面積為f(a),△A′BC′的面積為g(a).

(1)求函數(shù)f(a)和g(a)的表達(dá)式;

(2)比較f(a)與g(a)的大小，并證明你的結(jié)論.

命題意圖：本題考查函數(shù)的解析式、函數(shù)圖象、識(shí)圖能力、圖形的組合等.屬★★★★★級(jí)題目.

知識(shí)依托：充分借助圖象信息，利用面積問(wèn)題的拆拼以及等價(jià)變形找到問(wèn)題的突破口.

錯(cuò)解分析：圖形面積不會(huì)拆拼.

技巧與方法：數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化.

解：(1)連結(jié)AA′、BB′、CC′,則f(a)=S△AB′C=S梯形AA′C′C-S△AA′B′-S△CC′B

= (A′A+C′C)= ( ),

g(a)=S△A′BC′= A′C′·B′B=B′B= .

∴f(a)

●錦囊妙計(jì)

1.熟記基本函數(shù)的大致圖象，掌握函數(shù)作圖的基本方法：(1)描點(diǎn)法：列表、描點(diǎn)、連線;(2)圖象變換法：平移變換、對(duì)稱變換、伸縮變換等.

2.高考中總是以幾類基本初等函數(shù)的圖象為基礎(chǔ)來(lái)考查函數(shù)圖象的.題型多以選擇與填空為主，屬于必考內(nèi)容之一，但近年來(lái)，在大題中也有出現(xiàn)，須引起重視.

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