難點(diǎn)14 數(shù)列綜合應(yīng)用問(wèn)題

縱觀近幾年的高考，在解答題中，有關(guān)數(shù)列的試題出現(xiàn)的頻率較高，不僅可與函數(shù)、方程、不等式、復(fù)數(shù)相聯(lián)系，而且還與三角、立體幾何密切相關(guān);數(shù)列作為特殊的函數(shù)，在實(shí)際問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用，如增長(zhǎng)率，減薄率，銀行信貸，濃度匹配，養(yǎng)老保險(xiǎn)，圓鋼堆壘等問(wèn)題.這就要求同學(xué)們除熟練運(yùn)用有關(guān)概念式外，還要善于觀察題設(shè)的特征，聯(lián)想有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，迅速確定解題的方向，以提高解數(shù)列題的速度.

●難點(diǎn)磁場(chǎng)

(★★★★★)已知二次函數(shù)y=f(x)在x= 處取得最小值- (t>0),f(1)=0.

(1)求y=f(x)的表達(dá)式;

(2)若任意實(shí)數(shù)x都滿足等式f(x)·g(x)+anx+bn=xn+1[g(x)]為多項(xiàng)式，n∈N*),試用t表示an和bn;

(3)設(shè)圓Cn的方程為(x-an)2+(y-bn)2=rn2，圓Cn與Cn+1外切(n=1,2,3,…);{rn}是各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列，記Sn為前n個(gè)圓的面積之和，求rn、Sn.

●案例探究

[例1]從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬(wàn)元，以后每年投入將比上年減少 ，本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬(wàn)元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加 .

(1)設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬(wàn)元，旅游業(yè)總收入為bn萬(wàn)元，寫出an,bn的表達(dá)式;

(2)至少經(jīng)過(guò)幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入?

命題意圖：本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí);考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，本題有很強(qiáng)的區(qū)分度，屬于應(yīng)用題型，正是近幾年高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)題型，屬★★★★★級(jí)題目.

知識(shí)依托：本題以函數(shù)思想為指導(dǎo)，以數(shù)列知識(shí)為工具，涉及函數(shù)建模、數(shù)列求和、不等式的解法等知識(shí)點(diǎn).

錯(cuò)解分析：(1)問(wèn)an、bn實(shí)際上是兩個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，易與“通項(xiàng)”混淆;(2)問(wèn)是既解一元二次不等式又解指數(shù)不等式，易出現(xiàn)偏差.

技巧與方法：正確審題、深刻挖掘數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)量模型是本題的靈魂，(2)問(wèn)中指數(shù)不等式采用了換元法，是解不等式常用的技巧.

解：(1)第1年投入為800萬(wàn)元，第2年投入為800×(1- )萬(wàn)元，…第n年投入為800×(1- )n-1萬(wàn)元，所以，n年內(nèi)的總投入為

an=800+800×(1- )+…+800×(1- )n-1= 800×(1- )k-1

=4000×[1-( )n]

第1年旅游業(yè)收入為400萬(wàn)元，第2年旅游業(yè)收入為400×(1+ )，…，第n年旅游業(yè)收入400×(1+ )n-1萬(wàn)元.所以，n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為

bn=400+400×(1+ )+…+400×(1+ )k-1= 400×( )k-1.

=1600×[( )n-1]

(2)設(shè)至少經(jīng)過(guò)n年旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入，由此bn-an>0，即：

1600×[( )n-1]-4000×[1-( )n]>0，令x=( )n，代入上式得：5x2-7x+2>0.解此不等式，得x< ，或x>1(舍去).即( )n< ，由此得n≥5.

∴至少經(jīng)過(guò)5年，旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入.

[例2]已知Sn=1+ +…+ ,(n∈N*)設(shè)f(n)=S2n+1-Sn+1,試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍，使得對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n，不等式：f(n)>[logm(m-1)]2- [log(m-1)m]2恒成立.

命題意圖：本題主要考查應(yīng)用函數(shù)思想解決不等式、數(shù)列等問(wèn)題，需較強(qiáng)的綜合分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.屬★★★★★級(jí)題目.

知識(shí)依托：本題把函數(shù)、不等式恒成立等問(wèn)題組合在一起，構(gòu)思巧妙.

錯(cuò)解分析：本題學(xué)生很容易求f(n)的和，但由于無(wú)法求和，故對(duì)不等式難以處理.

技巧與方法：解決本題的關(guān)鍵是把f(n)(n∈N*)看作是n的函數(shù)，此時(shí)不等式的恒成立就轉(zhuǎn)化為：函數(shù)f(n)的最小值大于[logm(m-1)]2- [log(m-1)m]2.

解：∵Sn=1+ +…+ .(n∈N*)

∴f(n+1)>f(n)

∴f(n)是關(guān)于n的增函數(shù)

∴f(n) min=f(2)= ∴要使一切大于1的自然數(shù)n，不等式

f(n)>[logm(m-1)]2- [log(m-1)m]2恒成立

只要 >[logm(m-1)]2- [log(m-1)m]2成立即可

由 得m>1且m≠2

此時(shí)設(shè)[logm(m-1)]2=t 則t>0

于是 解得0

由此得0<[logm(m-1)]2<1

解得m> 且m≠2.

●錦囊妙計(jì)

1.解答數(shù)列綜合題和應(yīng)用性問(wèn)題既要有堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí),又要有良好的思維能力和分析、解決問(wèn)題的能力;解答應(yīng)用性問(wèn)題，應(yīng)充分運(yùn)用觀察、歸納、猜想的手段，建立出有關(guān)等差(比)數(shù)列、遞推數(shù)列模型，再綜合其他相關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題.

2.縱觀近幾年高考應(yīng)用題看，解決一個(gè)應(yīng)用題，重點(diǎn)過(guò)三關(guān)：

(1)事理關(guān)：需要讀懂題意，明確問(wèn)題的實(shí)際背景，即需要一定的閱讀能力.

(2)文理關(guān)：需將實(shí)際問(wèn)題的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言，用數(shù)學(xué)式子表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系.

(3)事理關(guān)：在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中;要求考生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的檢索能力，認(rèn)定或構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，完成用實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化.構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型后，要正確得到問(wèn)題的解，還需要比較扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和較強(qiáng)的數(shù)理能力.

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