難點13 數(shù)列的通項與求和
數(shù)列是函數(shù)概念的繼續(xù)和延伸，數(shù)列的通項公式及前n項和公式都可以看作項數(shù)n的函數(shù)，是函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用.數(shù)列以通項為綱，數(shù)列的問題，最終歸結(jié)為對數(shù)列通項的研究，而數(shù)列的前n項和Sn可視為數(shù)列{Sn}的通項。通項及求和是數(shù)列中最基本也是最重要的問題之一，與數(shù)列極限及數(shù)學(xué)歸納法有著密切的聯(lián)系，是高考對數(shù)列問題考查中的熱點，本點的報考函數(shù)觀點解決有關(guān)問題，為其提供行之有效的方法.
●難點磁場
(★★★★★)設(shè){an}是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項和為Sn，并且對于所有的自然數(shù)n，an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項.
(1)寫出數(shù)列{an}的前3項.
(2)求數(shù)列{an}的通項公式(寫出推證過程)
(3)令bn= (n∈N*)，求 (b1+b2+b3+…+bn-n).
●案例探究
[例1]已知數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是公比為q的(q∈R且q≠1)的等比數(shù)列，若函數(shù)f(x)=(x-1)2，且a1=f(d-1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q-1)，
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列{cn}的前n項和為Sn，對一切n∈N*，都有 =an+1成立，求 .
命題意圖：本題主要考查等差、等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式、數(shù)列的極限，以及運算能力和綜合分析問題的能力.屬★★★★★級題目.
知識依托：本題利用函數(shù)思想把題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為方程問題非常明顯，而(2)中條件等式的左邊可視為某數(shù)列前n項和，實質(zhì)上是該數(shù)列前n項和與數(shù)列{an}的關(guān)系，借助通項與前n項和的關(guān)系求解cn是該條件轉(zhuǎn)化的突破口.
錯解分析：本題兩問環(huán)環(huán)相扣，(1)問是基礎(chǔ)，但解方程求基本量a1、b1、d、q，計算不準易出錯;(2)問中對條件的正確認識和轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵.
技巧與方法：本題(1)問運用函數(shù)思想轉(zhuǎn)化為方程問題，思路較為自然，(2)問“借雞生蛋”構(gòu)造新數(shù)列{dn}，運用和與通項的關(guān)系求出dn，絲絲入扣.
解：(1)∵a1=f(d-1)=(d-2)2，a3=f(d+1)=d2，
∴a3-a1=d2-(d-2)2=2d，
∵d=2，∴an=a1+(n-1)d=2(n-1);又b1=f(q+1)=q2，b3=f(q-1)=(q-2)2，
∴ =q2，由q∈R，且q≠1，得q=-2，
∴bn=b·qn-1=4·(-2)n-1
(2)令 =dn，則d1+d2+…+dn=an+1,(n∈N*),
∴dn=an+1-an=2,
∴ =2,即cn=2·bn=8·(-2)n-1;∴Sn= [1-(-2)n].
∴ [例2]設(shè)An為數(shù)列{an}的前n項和，An= (an-1)，數(shù)列{bn}的通項公式為bn=4n+3;
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)把數(shù)列{an}與{bn}的公共項按從小到大的順序排成一個新的數(shù)列，證明：數(shù)列{dn}的通項公式為dn=32n+1;
(3)設(shè)數(shù)列{dn}的第n項是數(shù)列{bn}中的第r項，Br為數(shù)列{bn}的前r項的和;Dn為數(shù)列{dn}的前n項和，Tn=Br-Dn，求 .
命題意圖：本題考查數(shù)列的通項公式及前n項和公式及其相互關(guān)系;集合的相關(guān)概念，數(shù)列極限，以及邏輯推理能力.
知識依托：利用項與和的關(guān)系求an是本題的先決;(2)問中探尋{an}與{bn}的相通之處，須借助于二項式定理;而(3)問中利用求和公式求和則是最基本的知識點.
錯解分析：待證通項dn=32n+1與an的共同點易被忽視而寸步難行;注意不到r與n的關(guān)系，使Tn中既含有n，又含有r，會使所求的極限模糊不清.
技巧與方法：(1)問中項與和的關(guān)系為常規(guī)方法，(2)問中把3拆解為4-1，再利用二項式定理，尋找數(shù)列通項在形式上相通之處堪稱妙筆;(3)問中挖掘出n與r的關(guān)系，正確表示Br，問題便可迎刃而解.
解：(1)由An= (an-1)，可知An+1= (an+1-1)，
∴an+1-an= (an+1-an)，即 =3，而a1=A1= (a1-1)，得a1=3，所以數(shù)列是以3為首項，公比為3的等比數(shù)列，數(shù)列{an}的通項公式an=3n.
(2)∵32n+1=3·32n=3·(4-1)2n=3·[42n+C ·42n-1(-1)+…+C ·4·(-1)+(-1)2n]=4n+3，
∴32n+1∈{bn}.而數(shù)32n=(4-1)2n=42n+C ·42n-1·(-1)+…+C ·4·(-1)+(-1)2n=(4k+1)，
∴32n {bn}，而數(shù)列{an}={a2n+1}∪{a2n}，∴dn=32n+1.
(3)由32n+1=4·r+3，可知r= ，
∴Br= ，
●錦囊妙計
1.數(shù)列中數(shù)的有序性是數(shù)列定義的靈魂，要注意辨析數(shù)列中的項與數(shù)集中元素的異同.因此在研究數(shù)列問題時既要注意函數(shù)方法的普遍性，又要注意數(shù)列方法的特殊性.
2.數(shù)列{an}前n 項和Sn與通項an的關(guān)系式：an= 3.求通項常用方法
①作新數(shù)列法.作等差數(shù)列與等比數(shù)列.
②累差疊加法.最基本形式是：an=(an-an-1+(an-1+an-2)+…+(a2-a1)+a1.
③歸納、猜想法.
4.數(shù)列前n項和常用求法
①重要公式
1+2+…+n= n(n+1)
12+22+…+n2= n(n+1)(2n+1)
13+23+…+n3=(1+2+…+n)2= n2(n+1)2
②等差數(shù)列中Sm+n=Sm+Sn+mnd，等比數(shù)列中Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn.
③裂項求和：將數(shù)列的通項分成兩個式子的代數(shù)和，即an=f(n+1)-f(n)，然后累加時抵消中間的許多項.應(yīng)掌握以下常見的裂項：
④錯項相消法
⑤并項求和法
數(shù)列通項與和的方法多種多樣，要視具體情形選用合適方法.
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